【中1数学】比例と反比例をていねいに解説｜式・グラフ・見分け方と練習問題

今日は「比例と反比例」を勉強します。まず、身近な場面を2つ考えてみましょう。

1本80円の鉛筆を買います。1本なら80円、2本なら160円、3本なら240円です。本数が2倍、3倍になると、代金も2倍、3倍になりますね。

次に、12kmの道のりを進むことを考えます。時速2kmなら6時間、時速4kmなら3時間、時速6kmなら2時間かかります。速さが2倍、3倍になると、かかる時間は1/2倍、1/3倍になります。

1つ目が「比例」、2つ目が「反比例」の例です。順番に、式とグラフを確認していきましょう。

比例：y＝ax

y が x の関数で、その関係が

y ＝ a x　（a は 0 でない定数）

という式で表されるとき、「y は x に比例する」といいます。この定数 a を比例定数といいます。鉛筆の例では、代金を y 円、本数を x 本とすると y＝80x なので、比例定数は 80 です。

比例には、次の性質があります。

• x の値が2倍、3倍、…になると、y の値も2倍、3倍、…になる。
• x が 0 でないとき、商 y/x の値は一定で、比例定数 a に等しい。

比例のグラフ

y＝ax のグラフは、原点を通る直線です。a＞0 のときは右上がり、a＜0 のときは右下がりになります。グラフをかくときは、原点ともう1点をとって直線で結びます。たとえば y＝2x なら、原点(0, 0)と点(1, 2)を通る直線です。

反比例：y＝a/x

y が x の関数で、その関係が

y ＝ a / x　（a は 0 でない定数）

という式で表されるとき、「y は x に反比例する」といいます。反比例でも、a を比例定数とよびます。道のりの例では、時間を y 時間、速さを時速 x km とすると y＝12/x なので、比例定数は 12 です。

• x の値が2倍、3倍、…になると、y の値は1/2倍、1/3倍、…になる。
• 積 xy の値は一定で、比例定数 a に等しい。
• x＝0 のときの y の値はない（0 でわることはできないため）。

反比例のグラフ

y＝a/x のグラフは、原点について対称な2つのなめらかな曲線になります。この曲線を双曲線といいます。a＞0 なら右上と左下に、a＜0 なら左上と右下に現れます。曲線は x 軸や y 軸に限りなく近づきますが、軸と交わることはありません。

たとえば y＝6/x のグラフは、点(1, 6)、(2, 3)、(3, 2)、(6, 1)と、点(−1, −6)、(−2, −3)、(−3, −2)、(−6, −1)を通ります。点を多めにとって、なめらかな曲線で結ぶのがコツです。折れ線にしないように注意しましょう。

比例と反比例の見分け方

文章題で迷ったら、まず y を x の式で表してみるのが確実です。式が y＝ax の形なら比例、y＝a/x の形なら反比例、どちらでもなければ「どちらでもない」です。

例題で確かめよう

例題1　比例の式を求める

y は x に比例し、x＝3 のとき y＝12 です。y を x の式で表し、x＝−5 のときの y の値を求めなさい。

解き方：比例なので y＝ax とおきます。x＝3、y＝12 を代入すると 12＝3a より a＝4。よって式は y＝4x。x＝−5 を代入して y＝4×(−5)＝−20。

例題2　反比例の式を求める

y は x に反比例し、x＝4 のとき y＝6 です。y を x の式で表し、x＝−3 のときの y の値を求めなさい。

解き方：反比例なので y＝a/x とおきます。a＝xy なので a＝4×6＝24。よって式は y＝24/x。x＝−3 を代入して y＝24÷(−3)＝−8。

例題3　比例・反比例を見分ける

次の(1)〜(3)について、y を x の式で表し、比例・反比例・どちらでもない、のどれかを答えなさい。

1. 1本80円の鉛筆を x 本買ったときの代金 y 円
2. 面積が 12cm² の長方形の縦の長さ x cm と横の長さ y cm
3. 1000円持っていて x 円使ったときの残金 y 円

解き方：(1) y＝80x なので比例。(2) xy＝12 より y＝12/x なので反比例。(3) y＝1000−x で、y＝ax の形でも y＝a/x の形でもないのでどちらでもない。(3)は「x が増えると y が減る」ので反比例と間違えやすいところです。増え方・減り方ではなく、式の形で判断しましょう。

練習問題

1. y は x に比例し、x＝−2 のとき y＝10 です。y を x の式で表し、x＝4 のときの y の値を求めなさい。
2. y は x に反比例し、x＝−6 のとき y＝3 です。y を x の式で表し、x＝9 のときの y の値を求めなさい。
3. 時速4kmで x 時間歩いたときの道のりを y km とします。y を x の式で表し、比例・反比例のどちらか、また比例定数を答えなさい。
4. 36kmの道のりを時速 x km で進むときにかかる時間を y 時間とします。y を x の式で表し、比例・反比例のどちらか、また比例定数を答えなさい。
5. 比例のグラフが点(3, −6)を通ります。このグラフの式を求めなさい。
6. 反比例 y＝a/x のグラフが点(2, −5)を通ります。a の値を求めなさい。

今日のポイントと練習問題の答え

比例は「y＝ax、商が一定、原点を通る直線」、反比例は「y＝a/x、積が一定、双曲線」。迷ったら式に直す。この3点を、ノートの見返しに書いておきましょう。

1. y＝−5x、x＝4 のとき y＝−20
2. y＝−18/x、x＝9 のとき y＝−2
3. y＝4x、比例、比例定数 4
4. y＝36/x、反比例、比例定数 36
5. y＝−2x
6. a＝−10

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